Nach dem Abitur 1969 studierte Staffelt an der Freien Universität Berlin Geschichte, Politologie und Geographie, welches er 1975 mit dem Staatsexamen beendete. Er war dann bis 1979 wissenschaftlicher Angestellter und danach bis 1983 als freiberuflicher Dozent tätig. Er arbeitete dann bis 1989 als leitender Angestellter bei der Hölter-Gruppe Gladbeck. 1986 erfolgte seine Promotion zu dem Dr. phil.. Von 1995 bis 1997 war er Mitglied des Vorstandes der Hölter Industrie Beteiligungs AG. Von 1998 bis 1999 war er dann Geschäftsführer der VEBA Kommunalpartner GmbH.

Seit 1969 ist Staffelt Mitglied der SPD. Von 1980 bis 1994 war er Mitglied in dem Landesvorstand der SPD in Berlin, von 1992 bis 1994 als deren Landesvorsitzender. Von 1993 bis 1995 war er außerdem Mitglied in dem SPD-Bundesvorstand.

Von 1979 bis 1998 war Staffelt Mitglied des Abgeordnetenhauses von Berlin. Hier war er von 1985 bis 1989 zunächst Stellvertretender Vorsitzender und von 1989 bis 1994 dann Vorsitzender der SPD-Fraktion.
Seit 1998 ist Staffelt Mitglied des Deutschen Bundestages. Die gesamte 14. Wahlperiode (1998 bis 2002) gehörte er dem Vorstand der SPD-Bundestagsfraktion an, seit September 1999 als Sprecher für Wirtschaft und Technologie.
Staffelt ist mit 41,9 Prozent der Stimmen direkt gewählter Abgeordneter des Wahlkreises 83 (Berlin-Neukölln).

Am 1. März 2002 wurde Staffelt zu dem Parlamentarischen Staatssekretär, zunächst bis Oktober 2002 beim Bundesminister für Arbeit und Sozialordnung, dann beim Bundesminister für Wirtschaft und Arbeit in der von Bundeskanzler Gerhard Schröder geführten Bundesregierung ernannt.